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Inecuación de Bell y la paradoja de EPR

 

Por Eduardo Yvorra

http://www.geocities.com/fisica_que/

 

Habíamos mencionado anteriormente que Einstein junto con otros dos científicos (Podolsky y Rosen) idearon un llamado experimento de pensamiento, conocido como la paradoja de EPR, para explicar la imposibilidad de las acciones a distancia o también para demostrar que el concepto de realidad local era correcto incluso dentro del mundo cuántico. Este experimento se logro desarrollar experimentalmente en Paris en 1980 por el científico Alain Aspect, y a través de ciertos cálculos llevados a cabo por John Bell, se arribo a la conclusión, contra lo que el sentido común indica, que a nivel cuántico la realidad es no local, esto es que existen conexiones misteriosas entre las partículas, o bien que entre ellas intercambian información a velocidades superiores a la de la luz. Estos tres puntos, la Paradoja EPR, el experimento de Aspect y la inecuación de Bell es lo que se desarrolla a continuación.

 

En el experimento de Aspect se mide una propiedad que cuentan los fotones de luz, denominada polarización. Algo de esta se describió en el capitulo de ondas, por lo que lo que aquí diremos para entender el experimento, es que la polarización para cada fotón se la representa y así debemos imaginarla como una pequeña flecha que, saliendo del fotón, apunta en una dirección determinada (arriba, abajo, o en diagonal). La polarización de dos fotones emitidos desde el mismo átomo esta correlacionada en sentido cuántico, de manera tal que si por ejemplo en uno apunta hacia arriba, en el otro apuntara en diagonal, pero no hay nada que nos permita decir que fotón tendrá  polarización en uno u otro sentido. Cuando dos fotones son emitidos desde un átomo, existen como el gato de Schrodinger en estados superpuestos hasta que alguien mida la polarización de alguno de ellos. En ese momento, la función de onda del fotón medido colapsa en uno de los estados de polarización posible; digamos para nuestro caso hacia arriba. En dicho momento, la función de onda del otro fotón también colapsa en el otro estado de polarización, en diagonal. Nadie ha mirado a este segundo fotón, y en realidad en el momento que se realiza la medición sobre el primero, podría ser que ambos fotones estén en los extremos opuestos del universo,  así cuando la función de onda de uno colapsa, la del otro hace lo mismo en el mismo momento; esto es lo que se denomina acción a distancia y contra la cual Einstein se oponía. Es como si las dos entidades quánticas, los fotones, permanecieran en un estado de conexión misteriosa, para siempre. La pregunta era ¿cómo se podía observar esta conexión a distancia? Era evidente que a través de la medición simultanea de ambos fotones esto no se lograría por que siempre observaríamos las polarizaciones tal como tienen  que ser, hacia arriba en uno y en diagonal en el otro, pero no podríamos distinguir el instante de la conexión entre ambos. Quedaría siempre la duda si realmente existe esa conexión o acción a distancia; o por el contrario, que la polarización de cada fotón queda determinada en el preciso momento que son emitidos desde el átomo, siendo así que cada fotón nace con una polarización determinada careciendo de sentido el concepto de estados superpuestos.

 

El truco para captar sea el fenómeno de la acción a distancia, o el fenómeno no-local, es trabajar con tres  medidas conectadas, por ejemplo tres ángulos de polarización, tal como lo pensó Aspect en su experimento, pero solo medir dos de ellos uno para cada fotón.

 

Para hacer un ejemplo mas familiar que la polarización, llamaremos a esta color. Supongamos que un átomo en lugar de emitir fotones de a pares con polarizaciones correlacionadas, emite partículas de colores de a pares. Estos colores pueden ser ROJO, AMARILLO, AZUL. Ahora bien por definición, cada par de partículas emitidas simultáneamente deben tener colores diferentes.

 

Expresando esto en términos cuánticos, diremos que cuando el átomo emite un par de partículas de color, la interpretación de Copenhague (Bohr) dirá que ninguna de las dos partículas tiene un color determinado sino que existen en una superposición de tres estados (colores) posibles. Cuando el que realiza el experimento mira a una partícula , allí su función de onda colapsa adoptando un color determinado entre los tres posibles. Al mismo tiempo, la función de onda de la otra partícula también colapsa adoptando esta un color determinado entre los ahora dos posibles. Este debe ser diferente al que adopto la partícula observada, aunque no sabemos tal como realizamos el experimento cual de los dos posibles, dado que no estamos observando a esta partícula.

 

Veamos como proceder en nuestra investigación: Utilicemos la siguiente notación y las preguntas que siguen:

  • PO es la partícula observada.

  • PNO es la partícula no observada.

  • A = azul, AM = amarillo, R = rojo

  • NA = no azul, NAM = no amarilla, NR = no rojo

1.     ¿PO es A?

 

2.     SI PO es A

 

3.     Por lo tanto, PNO = R o AM.

 

4.     NO, PO es NA, aunque no sabemos aun de que color es.

 

5.     Por lo tanto PNO = R o AM o A, pero con mayor probabilidad de que sea A.

 

 

 

Calculemos algunas probabilidades:

 

q       Si la PO es A, entonces la PNO tiene una probabilidad del 50% de ser AM y una probabilidad del 50% de ser R.

 

q       Si la PO es NA puede ser R o AM.

 

ü     Si es R entonces la PNO podrá ser AM o A.

 

ü     Si es AM entonces la PNO podrá ser R o A.

 

 

 

Vemos entonces que si la PO es NA hay cuatro posibles resultados para la PNO, dos Azules, un Amarillo y un Rojo, por lo tanto la probabilidad de Azul será 50 % (2/4), mientras que la de Amarillo y Rojo será 25 % para cada una (1/4).

 

El hecho de que el estado de la primer partícula este determinado tal como sucede cuando la observamos y decimos es AZUL, implica que para la PNO, la probabilidad de adoptar determinados resultados  R o AM, será del 50% para cada estado (color). Sin embargo, si el estado de la primer partícula no esta determinado,  las probabilidades de encontrar un color particular al observar la segunda partícula varían respecto a la primer situación. Fíjense que aquí estas probabilidades será dl 50 % para un color y 25 % para cada uno de los otros dos. Para observar como las probabilidades van cambiando de acuerdo a la forma que realizamos la medición sobre la primer partícula, debemos realizar muchas mediciones sobre muchas partículas, tal como haríamos para calcular la probabilidad de que una moneda salga cara o seca, repetiríamos la tirada muchas veces anotando lo que sale en cada una de ellas. El punto crucial es que Bell mostró que el patrón estadístico que debería surgir si el fenómeno es no-local, es decir si las partículas no salen del átomo con una condición prefijada (polarización o color en nuestro ejemplo) es diferente al patrón que surge si el fenómeno es local, esto es que cada partícula adopta su color en el mismo momento que se emite desde el átomo y permanece en ese color todo el tiempo. Utilizando esta terminología de los colores, el experimento consiste en preguntar pares de preguntas acerca de ambos fotones en conjunto en la siguiente línea:

 

o       ¿Es el fotón 1 azul o no, y es el fotón 2 amarillo o no?

 

o       ¿Es el fotón 1 azul o no, y es el fotón 2 rojo o no?

 

Llevando a cabo este experimento con muchos pares de partículas se puede construir una lista de respuestas especificando con que frecuencia las partículas se aparean en categorías: “ A y NAM ”, “A y NR”, “NA y NAM”, etc. Lo que Bell demostró (¿?) es que si se hacen las preguntas de esta manera muchas veces, utilizando muchos pares de fotones, hay un patrón estadístico que aparece en las respuestas obtenidas. Se puede averiguar con que frecuencia la combinación “A y NAM” apareció, comparada con la combinación “NA y NR”. Y todas las otras combinaciones posibles. Debido a que las entidades cuánticas no deciden que color adoptar hasta tanto sean observadas, contrariamente a lo que harían las partículas comunes de adoptar un color en su origen; el patrón estadístico resultante para ambos tipos de partículas será diferente. Bell mostró que si las partículas fueran comunes, el patrón estadístico A debería prevalecer, es decir el patrón A > el patrón B. Pero en el experimento realizado en Paris por Alain Aspect, donde se trabajo con fotones de diferente polarización, se demostró que esto no ocurría; es decir que la desigualdad anterior se violaba, siendo el resultado experimental que el patrón A < el patrón B. El argumento, si bien desarrollado matemáticamente, esta basado en una lógica del sentido común. Esta lógica del sentido común, aplicada a un ejemplo trivial, nos dice lo siguiente:

 

Siendo TA, la cantidad total de adolescentes en todo el mundo; FA la cantidad de adolescentes mujeres en todo el mundo, MA la cantidad de adolescentes hombres en todo el mundo, Madu la cantidad de adultos hombres en todo el mundo y TM la totalidad de personas de sexo masculino; entonces se debe dar que:

 

TA < FA + TM, (1)

 

Por que TA = FA + MA (2) y TM = MA + Madu (3),

 

Por lo tanto al reemplazar (2) y (3) en (1) Þ FA + MA < FA + MA + Madu Þ FA< FA + Madu

 
Los resultados del experimento de Aspect son equivalentes en términos de la lógica del sentido común, a descubrir que en realidad la inecuación que se comprueba en nuestro ejemplo es TA > FA + TM;  es decir que en el mundo hay mas adolescentes que mujeres adolescentes mas todos los hombres. Este resultado, ejemplificado aquí con personas, es lo que se conoce como la violación de la desigualdad de Bell, y es lo que confirma que para las entidades cuánticas existe una conexión misteriosa, denominada realidad no-local, a pesar de que aun no entendemos cual es el significado de todo esto. El propio Bell considero a la teoría cuántica como temporaria, y siempre espero que los físicos alcanzaran alguna teoría que pudiera explicar estos resultados extraños en términos del mundo real que todos conocemos, es decir en el cual las cosas tiene características objetivas y no indeterminadas.  

 

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